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Détermination du défaut de planéité d’un marbre. Méthode pour le calcul d’incertitudes

 

J. BADO et F. MERCIER

 

Ecole Supérieure de Métrologie

 

 

Notre sujet porte sur le calcul d’incertitudes du défaut de planéité d’un marbre en granit. Pour cela nous nous intéresserons à l’incertitude de la mesure d’un point, à partir de laquelle nous évaluerons l’incertitude sur tout le marbre. Notre travail, du fait que nous n’avons pas effectué nous même les mesures, sera une approche ou une méthode basée sur des hypothèses. Ainsi pour un calcul plus précis, nous pourrions reprendre et appliquer cette méthode dans un cas plus concret.

PRESENTATION DES INSTRUMENTS DE MESURE

 

Comme instruments utilisés nous avons :

 

Ø              Un système de mesure à laser 5528A ;

Ø              Un interféromètre et un réflecteur angulaire ; 

Ø              Un miroir de planéité ;

Ø              Une règle de rectitude ;

Ø              Chaîne de mesure de température (HP) ; 

Ø              Un manomètre numérique ;

Ø              Un hygromètre 

 

PRESENTATION DE L’ENVIRONNEMENT DE MESURE

 

Les mesures ont été effectuées au cours du mois de juillet 2003 ; au Centre de Mesures Lorrain, dans le laboratoire dimensionnel (climatisé à 20°C ±0,5°C ; à 55% ±10% d’hygrométrie).

 

IDENTIFICATION DES COMPOSANTES D’INCERTITUDES

 

Un diagramme Cause-Effet se trouve en Annexe.

Nous reprenons les composantes d’incertitudes ici :

Ø      MOYEN

v     Interféromètre

ü      Quantification

ü      Longueur d’onde dans l’air

v     Réflectomètre

ü      Entraxe E des miroirs

ü      Dilatation

v     Dilatation des embases

Ø      MILIEU

v     Conditions ambiantes

ü      Hygrométrie

ü      Pression

ü      Température

Ø      MAIN D’ŒUVRE

v     Répétabilité

Ø      METHODE

v     Alignement angulaire

v     Alignement du faisceau

v     Quadrillage des points

Ø      MATIERE

v     Coefficient de dilation du marbre

v     Coefficient de dilation de l’acier

 

EVALUATION DE L’INCERTITUDE

 

Nous donnerons dans cette partie, quelques incertitudes ( les plus importantes). Les autres valeurs d’incertitudes seront données en annexe.

 

Incertitude de mesure d’un point

 

Modèle mathématique : définition du mesurande

h, hauteur du point, notre mesurande, est donc défini par :

Pour la suite du calcul, nous travaillerons avec un mesurande h = 10 µm (nous pourrons ensuite critiquer ce choix).

Nous choisirons un pas P de 50 mm (le logiciel nous donne à choisir entre des pas de 50, 100 ou 150 mm).

Ce qui nous donne une différence de marche L = 6,52 µm.

 

Incertitude de type A : répétabilité

 

Du fait de la méthode : le replacement du réflecteur angulaire se fait manuellement, le repositionnement est difficile à répéter et l’écart-type de répétabilité est donc conséquent : 0,192 µm.

La planéité du marbre est donnée en effectuant la moyenne de 3 mesures, donc :

 

Incertitude de Type B : Prise en compte de la covariance

 

La mesure de la différence de trajet optique s’écrit L=l2-l1

avec l1=m1+el et l2=m2+el+e

el est la composante sur le trajet optique commun et est identique entre le trajet f1 et le trajet f2 et e est la composante sur la différence de trajet.

Les variances sont : V(el)=u2, V(e)=s2, V(ll)=u2 et V(l2)=u2+ s2

La covariance est donc : cov(ll,l2)= u2

 

L=l2-l1 d’où V(L) est égale à :

Pour la suite des calculs d’incertitudes, la prise en compte de la covariance emmène à calculer les incertitudes sur L en ne tenant compte que des composantes sur cette différence de trajet.

 

B1 : Incertitude de détermination de E

 

Le certificat d’étalonnage délivré par le LNE nous donne E = 62,59991 mm avec une incertitude de mesure sur la détermination de l’entraxe E de ± 0,25 µm (à deux écart-types) donc

uE= UE/2= 0,125 µm

u1 est donc négligeable

 

B4 : Incertitude due à la quantification

 

 

L’incertitude sur le comptage est négligeable, seule la quantification doit être prise en compte.

L’interféromètre à un affichage au 0,01 µm.

 

On considérera une loi de distribution uniforme donc :

Les calculs détaillés des autres incertitudes de type B se trouvent en annexe. Nous les regroupe-rons dans ces tableaux :

 

 

Source d’incertitude

Incertitude Ci.ui

A1

Répétabilité de mesure de la hauteur h

110,8 nm

B1

Détermination de E : incertitude liée à l’étalonnage

0,04 nm

 

 

Source d’incertitude

Incertitude Ci.ui

B2

Méconnaissance de la température du réflecteur angulaire

0,13 nm

B3

Méconnaissance du coefficient de dilatation du réflecteur angulaire

0,02 nm

B4

Quantification

4,5 nm

B5

Méconnaissance de l’angle b, angle entre le faisceau et la ligne de mesure

0,4 nm

B6

Défauts d’alignements du faisceaux laser

négligeable

B7

Conditions ambiantes sur la longueur d’onde de l’air [2]

6,3.10-3 nm

B8

Longueur d’onde dans le vide

5.10-4 nm

B9

Dilatation différentielle des pieds de la base de planéité

 

négligeable

 

Incertitude-type composée sur la mesure d’une hauteur (dénivelé)

 

 

Pour cela nous ferons la composition quadratique des différentes composantes d’incertitude :

L’incertitude de la hauteur est quasiment égale à la répétabilité.

 

Incertitude sur le comportement du marbre du fait de la méconnaissance de la température aux différents points et à la méconnaissance de son coefficient de dilatation

 

Cette incertitude est difficile à appréhender, elle est fonction du comportement du marbre soumis à des gradients de température. Pour le moment, nous n’avons pas trouvé de travaux permettant de la calculer. Nous nous proposons, pour contour-ner ce problème, de lier la valeur du défaut de forme, en plus de son incertitude de mesure, du delta de température rencontré pendant les mesures accompagné lui aussi de son incertitude-type.

Pour cela, nous utiliserons la chaîne de mesure de température HP étalonné par le LNE.

 

Incertitude de mesure sur la totalité du marbre [3]

 

Incertitude de mesure associée aux écarts de rectitude

 

Les écarts de rectitude étant obtenus par cumul des mesurages individuels des points successifs de la ligne mesurée, la loi de composition de variance sera appliquée.

 

Soit le kième point d’une ligne mesurée, chaque point étant mesuré avec une incertitude-type composée uc, l’incertitude-type du kième point sera égale à :

La ligne possédant n points de mesure, la correction angulaire permettant de ramener les deux extrémités d’une ligne à une altitude nulle, engendrera une incertitude-type au kième point définie par :

Dans notre cas, le point le plus bas est le 4ième point sur une largeur périphérique et le plus haut, le 9ième point sur une longueur périphérique :

 ;

 

Incertitude de mesure associée aux écarts de planéité

 

Le point central du marbre est caractérisé via les diagonales par une incertitude :

La translation de la diagonale engendre une incertitude-type supplémentaire sur l’ensemble des points égale à :

La correction des lignes périphériques occasionne pour l’ensemble des points périphériques, une incertitude-type supplémentaire égale à :

 ;

L’incertitude concernant la correction des médiatrices, n’est pas comptabilisée car les points définissant le défaut de forme dans notre cas, n’appartiennent pas à des médiatrices.

 

Incertitude-type globale et Incertitude élargie

 

 

Chaque point du quadrillage se trouve donc caractérisé par une incertitude-type globale résultant de la combinaison des composantes précédentes et le point bas et le point haut étant caractérisés par leur incertitude respective, l’incertitude-type relative au défaut de forme sera calculée en combinant quadratiquement les incertitudes globales.

L’incertitude élargie en appliquant un facteur d’élargissement de k=2 donne :