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Métrologie des Couples et Calcul d'Incertitudes

Fabrice MERCIER - e-mail : coxcofab@yahoo.fr

Un couple se mesure au moyen d’un capteur, dénommé couplemètre, qui possède, comme un capteur d’efforts, un corps d’épreuve déformable. Ce corps d’épreuve se déforme par torsion sous l’action du couple et il existe une relation de proportionnalité (loi de Hooke) entre déformation de torsion et intensité du moment, tant que cette déformation reste dans le domaine élastique. [11]

Les laboratoires  utilisent ces couplemètres pour vérifier les outils dynamométriques (clé et tournevis) de leurs clients.

Les outils dynamométriques (clé et tournevis) permettent de contrôler , par l’intermédiaire d’une mesure de couple, l’effort de serrage exercé par une vis ou un boulon sur un assemblage mécanique.

Rappelons le principe de la clé dynamométrique : le mécanicien exerce un effort sur la tige flexible de la clé. Un index se déplace en face des graduations d’un secteur circulaire. Le couple appliqué est lu sur le secteur gradué, l’ensemble étant entraîné en rotation sous l’effort exercé. Le mécanicien arrête sa manœuvre lorsque l’index atteint la valeur de couple souhaitéeou lorsque le déclenchement de la clé a lieu (dans le cas d’outils à déclenchement)
Le couple C s’exerce suivant xx’. La flèche f est repérée sur le cadran. Le coefficient de proportionnalité k est caractéristique de la lame.

La démarche du calcul d’incertitude est, comme pour les pressions, de quantifier l’incertitude due aux couplemètres avant de s’intéresser à la contribution de l’outil lui-même.

1.1.         Matériel au laboratoire

  Le laboratoire possède :

v     3 jeux identiques de 6 capteurs de couple permettant une mesure sur une plage de 0,1 à 1000 N.m :

Ø      2 jeux (Jeu A en service et Jeu B en redondance) sont en service et sont interchangeables lors de l’envoi d’un jeu en raccordement

Ø      un troisième jeu est en gel, c’est à dire qu’il est constitué de capteurs qui attendent de remplacer les capteurs défaillants des jeux en service

Ci-dessous, le jeu A actuellement en service :  

"Désignation"   Capteur   NORBAR

Capacité maximum

1 N.m   10 N.m   50 N.m   100 N.m   500 N.m   1000 N.m  

Descriptifs des Couplemètres (jeu en place)

Une des exigences du Cofrac dans son document « Exigences spécifiques d’accréditation par le Cofrac pour la vérification d’outils dynamométriques à commande manuelle » est de pouvoir démontrer que l’incertitude d’utilisation des bancs de vérification est inférieure à 0,7% de la valeur mesurée, avec un coefficient d’élargissement k = 2. [12] 

Un calcul d’incertitude a donc été réalisé d’abord sur un capteur, celui de 1 N.m  à l’aide de la publication de l’European co-operation for Accreditation EA-10/14 « Lignes directrices pour l’étalonnage des appareils de mesure de couple » [13] ainsi que de la norme BS 7882 : 1997 « méthode pour l’étalonnage et la classification des appareils de mesure de couples » [14]

Puis en reprenant ce calcul sur un fichier Excel pour l’ensemble des capteurs des 2 jeux en service, les plages de mesure ont été déterminées en fonction des capteurs et en respectant l’exigence Cofrac.

1.2.         Symboles spécifiques

Symbole

Désignation

Unité

CE

Valeur maximum de couple de la plage de mesure

N.m

WEta

Incertitude-type due aux moyens d’étalonnage

%

CK

Couple appliqué

N.m

Valeur moyenne du couple lu

N.m

Valeur du couple lu pour la série i

N.m

Valeur vraie du couple

N.m

Cm

Valeur de mesure du couple

N.m

Cc

Valeur corrigée du couple par interpolation

N.m

[Ci, Cj]

Points d’étalonnage entourant la valeur de mesure du couple

N.m

εm

Correction à appliquer au point de mesure

N.m

εi, εj

Corrections aux points d’étalonnage

N.m

wdérive

Incertitude relative due à la dérive

%

                                                    Symboles, désignations et unités

1.3.         Capteur NORBAR 1 N.m étalonné par NORBAR

CE

Unité

Résolution

WEta en %

50

N.m

0,0001

0,04

                                            Présentation de l’appareil

Le constructeur NORBAR, accrédité NAMAS, a défini la procédure d’étalonnage suivante pour le raccordement des capteurs :

·        Positions : le capteur de couple est étalonné en 2 positions

Ø      à 0°, deux séries en charges croissantes

Ø      après une rotation de 90°, une série en charges croissantes

·        Paliers d’étalonnage : le capteur est étalonné en 6 paliers

·        Conditions de charge :

Ø      l’étalonnage se déroule avec une température stable à ± 1°C (comprise entre 20°C ± 2°C)

 Séquence de mesure avec 6 paliers

1.3.1.      Résultats bruts et détermination de la moyenne

La valeur moyenne est calculée comme la valeur moyenne des résultats de mesure obtenus dans les séries croissantes aux différentes positions de montage :

Note : Les valeurs de la deuxième série croissante à la position 0° ne rentrent pas dans le calcul

 

Paliers

 

 

Paliers

 

série 1

croissante

série 2

croissante

90°

 

croissante

 

(%)

(N.m)

0

0,0

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

10

0,1

0,1000

0,0999

0,1002

0,1001

20

0,2

0,1999

0,1999

0,2001

0,2000

40

0,4

0,3999

0,3999

0,4002

0,4001

60

0,6

0,5999

0,5998

0,6003

0,6001

80

0,8

0,8001

0,8000

0,8006

0,8004

100

1,0

1,0002

1,0003

1,0011

1,0007

0

0,0

0,0002

0,0002

0,0001

 

                                                Résultats bruts et moyenne

1.3.2.      Détermination de la répétabilité b’

La répétabilité b’ avant rotation du capteur est calculée pour chaque palier de couple selon l’équation suivante :   C1 et C2 sont les valeurs mesurées avant rotation

 

CK

 

 

 

 

(N.m)

%

0,0

0,0000

0,0000

0,0000

-

0,1

0,1000

0,0999

-0,0001

0,100

0,2

0,1999

0,1999

0,0000

0,000

0,4

0,3999

0,3999

0,0000

0,000

0,6

0,5999

0,5998

-0,0001

0,017

0,8

0,8001

0,8000

-0,0001

0,012

1,0

1,0002

1,0003

0,0001

0,010

Répétabilité b’

1.3.3.      Détermination de la reproductibilité b

 La répétabilité b avant et après rotation du capteur est calculée pour chaque palier de couple selon l’équation suivante :

                                                                                             

où :

n est le nombre de séries croissantes en différentes positions de montage

Note : Les valeurs de la deuxième série croissante à la position 0° ne rentrent pas dans le calcul de b 

CK

(N.m)

0,0

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

%

-

0,170

0,075

0,056

0,053

0,049

0,066

Reproductibilité b

1.3.4.      Détermination de la variation de l’indication à charge nulle f0

 La valeur à zéro doit être mesurée avant et après chaque série de mesure. Elle doit être mesurée 30 secondes environ après la décharge complète. La variation de l’indication à charge nulle f0 est calculée selon l’équation suivante :

CK

(N.m)

%

0

0,0002

0,020

                                           Variation de l’indication à charge nulle f0

1.3.5.      Détermination de l’hystérésis h

 L’hystérésis h n’a pas à être calculée car nous utiliserons les capteurs de couple seulement dans un sens : celui du serrage, donc à droite.

1.3.6.      Interpolation

Pour appliquer les corrections qui nous sont données par le CE du capteur de couple, il y a deux possibilités :

Ø      Interpolation linéaire entre deux points d’étalonnage

Pour un point de couple Cm compris entre les points d’étalonnage [Ci, Cj], la correction εm peut être calculée par interpolation linéaire entre les corrections εi et εj correspondant aux points Ci et Cj selon l’équation :

                    

Ø      Polynôme d’interpolation

Un polynôme d’interpolation, passant au mieux par tous les points de l’étalonnage, est calculé. Ce polynôme donnera le couple corrigé en fonction du couple lu sur l’appareil (le calcul est fait sous Excel à partir des valeurs du certificat d’étalonnage. Le polynôme peut être du second ou du troisième ordre. Après comparaison sur l’ensemble des capteurs entre les fonctions second et troisième ordre, une fonction du second ordre est préférable : le nombre de points par lesquels la courbe polynomiale doit passer (6 points) est insuffisant pour un polynôme du troisième ordre.

Le polynôme d’interpolation est donc

Le choix est fait d’utiliser un polynôme d’interpolation pour appliquer les corrections car ceci facilitera la prise de mesure et le calcul de la correction sur Excel et cela sans dégrader l’incertitude.

L’erreur d’interpolation fc doit donc être calculée pour chaque palier selon l’équation :                                                                                     

 

 

 

N.m

%

0,0000

-

-

-

0,1000

0,1000

0,0000

-0,0423

0,2000

0,2000

0,0000

-0,0063

0,4000

0,4001

-0,0001

-0,0135

0,6000

0,6000

0,0000

0,0043

0,8000

0,8000

0,0000

-0,0049

1,0000

1,0001

-0,0001

-0,0083

                                                            Erreur d’interpolation fc

1.3.7.      Détermination de l’erreur relative d’indication Ei

L’erreur relative d’indication Ei est calculée pour chaque palier de couple selon l’équation suivante :                                                                                              

 

CK

 

 

 

 

 

(N.m)

%

0,0

0,0000

0,00000

0,00000

-

0,1

0,1000

0,10003

0,00003

0,033

0,2

0,2000

0,19997

-0,00003

-0,017

0,4

0,4000

0,40000

0,00000

0,000

0,6

0,6000

0,60000

0,00000

0,000

0,8

0,8000

0,80023

0,00023

0,029

1,0

1,0000

1,00053

0,00053

0,053

                                                            Erreur relative d’indication

1.3.8.      Récapitulatif  

Paliers

en N.m

%

0,0

-

-

0,020

-

0,1

0,100

0,170

-

0,033

0,2

0,000

0,075

-

-0,017

0,4

0,000

0,056

-

0,000

0,6

0,017

0,053

-

0,000

0,8

0,012

0,049

-

0,029

1,0

0,010

0,066

-

0,053

Tableau récapitulatif

1.4.         Détermination de l’incertitude de mesure élargie pour des charges croissantes

1.4.1.      Incertitude-type relative due à la répétabilité b’ et à la reproductibilité b

Les incertitude relatives dues à la répétabilité b’ et à reproductibilité b doivent être calculées selon les équations suivantes :  et      où : n est le nombre de séries croissantes en différentes positions de montage. Dans notre cas, n est égal à 2.

1.4.2.      Incertitude-type relative due à l’erreur d’interpolation fc

Si pour appliquer les corrections, une interpolation linéaire avait été choisie, l’incertitude-type associée par l’interpolation linéaire aurait été calculée à partir de l’écart-type de répétabilité ub ou plutôt wb selon l’équation                                                                              

Dans notre cas, avec l’utilisation d’un polynôme d’interpolation, la distribution des valeurs est considérée comme triangulaire. L’incertitude relative due à l’erreur d’interpolation fc doit être calculée pour chaque palier selon l’équation :

                     

1.4.3.      Incertitude-type relative due à la résolution r de l’indicateur

 La résolution r est de 0,0001 N.m.

Lorsque les lectures fluctuent de plus d’un incrément à charge nulle, la résolution est prise égale à la moitié de l’étendue de la fluctuation. La distribution des valeurs est considérée comme rectangulaire variant entre (-r/2) et (+r/2). L’écart-type est obtenu en divisant (r/2) par √3. La valeur obtenue est ensuite multipliée par √2 car la résolution intervient deux fois dans la détermination de la déformation : une première fois lors du relevé (ou du réglage) de l’indication à charge nulle et une seconde fois lors du relevé de l’indication sous charge. L’incertitude relative due à la résolution r doit être calculée pour chaque palier selon l’équation .

1.4.4.      Incertitude-type relative due au moyen d’étalonnage

Cette incertitude correspond à l’incertitude sur le couple étalon appliquée à l’instrument lors de son étalonnage. Dans notre cas Wéta, l’incertitude élargie est égale à 0,04% avec un facteur d’élargissement k=2. Donc  .

1.4.5.      Incertitude-type relative due à la dérive

La dérive est l’écart maximal observé entre deux étalonnages. L’incertitude-type liée à la dérive est égale à la dérive divisée par deux, de manière à retrouver pleinement cette composante dans l’incertitude élargie.

Année

Dérive 1

Dérive 2

Dérive maxi

Incert. type

1999

2001

avant ajustement

2001

après ajustement

2003

avant ajustement

2003

après ajustement

en N.m

 

en %

0,1000

0,1010

0,1000

0,0996

0,1000

0,0010

0,0004

1,00

0,50

0,2000

0,2010

0,2000

0,1994

0,2000

0,0010

0,0006

0,50

0,25

0,3998

0,4020

0,4000

0,3990

0,4000

0,0022

0,0010

0,55

0,28

0,5997

0,6030

0,6000

0,5989

0,6000

0,0033

0,0011

0,55

0,28

0,8000

0,8050

0,8000

0,7987

0,8002

0,0050

0,0013

0,63

0,31

1,0004

1,0060

1,0010

0,9984

1,0005

0,0056

0,0026

0,56

0,28

Dérive

1.4.6.      Incertitude élargie relative

On déduit donc l’incertitude-type globale sur le couple mesuré par le capteur                                                           

L’incertitude élargie relative de mesure W pour chaque palier de couple est calculée avec un facteur d’élargissement k=2 :

                                                                                                           

  CK

  wb'

  wb

wfc

  wr

wEta

wDérive

W

N.m

en %

0,00

-

-

-

-

-

-

-

0,10

0,07

0,12

0,02

0,03

0,02

0,50

1,04

0,20

0,00

0,05

0,00

0,01

0,02

0,26

0,51

0,40

0,00

0,04

0,01

0,01

0,02

0,28

0,56

0,60

0,01

0,04

0,00

0,00

0,02

0,28

0,56

0,80

0,01

0,03

0,00

0,00

0,02

0,32

0,63

1,00

0,01

0,05

0,00

0,00

0,02

0,28

0,57

Calcul de l’incertitude

1.5.         Capteurs de 0,1 N.m à 1000 N.m

 

Comme pour les pressions, une informatisation a été faite pour simplifier les calculs futurs . Le même calcul donne pour les cinq autres capteurs :

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

N.m

%

N.m

%

N.m

%

N.m

%

N.m

%

1,00

0,21

5,00

0,57

10,00

0,73

50,00

0,23

100,00

0,99

2,00

0,14

10,00

0,38

20,00

0,55

100,00

0,31

200,00

0,86

4,00

0,06

20,00

0,29

40,00

0,44

200,00

0,32

400,00

0,65

6,00

0,07

30,00

0,26

60,00

0,42

300,00

0,28

600,00

0,49

8,00

0,05

40,00

0,27

80,00

0,37

400,00

0,30

800,00

0,42

10,00

0,05

50,00

0,26

100,00

0,35

500,00

0,25

1000,00

0,37

Incertitudes élargies en tous points

 Les plages de mesure se recoupant et étant donné que pour un capteur, l’incertitude est plus importante en début de plage, il est donc préférable, quand on a le choix, d’utiliser le capteur de plage inférieure.

De plus, le point de mesure à 0,10 N.m ayant une incertitude élargie de 1,04 % (supérieure aux exigences spécifiques Cofrac de 0,7%), je décide de supprimer la plage de mesure de 0,1 à 0,2 N.m.

Les incertitudes élargies peuvent se décomposer ainsi :

·        de 0,2 à 1 N.m inclus : ± 0,63 %

·        de 1 N.m exclus à 500 N.m inclus : ± 0,57 %

·        de 500 N.m exclus à 1000 N.m inclus : ± 0,65 %

1.5.1.      Décision d’appliquer la correction

 

Comme il a été décidé d’appliquer les corrections des écarts trouvés dans les certificats d’étalonnage, il n’y a pas de composante d’incertitude à ajouter due à la correction.

Si, pour simplifier l’exploitation, les corrections n’avaient pas été appliquées, les écarts auraient été ajoutés linéairement et les incertitudes en auraient été augmentées comme suit : 

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

 

CK

 

 

W

N.m

%

N.m

%

N.m

%

N.m

%

N.m

%

N.m

%

0,10

1,07

1,00

0,35

5,00

0,64

10,00

0,80

50,00

0,25

100,0

1,96

0,20

0,53

2,00

0,29

10,00

0,45

20,00

0,56

100,00

0,37

200,0

1,58

0,40

0,56

4,00

0,12

20,00

0,35

40,00

0,47

200,00

0,38

400,0

1,10

0,60

0,56

6,00

0,09

30,00

0,36

60,00

0,44

300,00

0,32

600,0

0,79

0,80

0,66

8,00

0,06

40,00

0,40

80,00

0,41

400,00

0,31

800,0

0,62

1,00

0,62

10,00

0,08

50,00

0,42

100,00

0,40

500,00

0,26

1000,0

0,49

Incertitudes élargies aux points choisis sans correction

 Les incertitudes élargies se seraient décomposées ainsi :

·        de 0,2 à 1 N.m inclus : ± 0,66 %

·        de 1 N.m exclus à 500 N.m inclus : ± 0,64 %

·        de 500 N.m exclus à 1000 N.m inclus : ± 1,10 %

Ces incertitudes répondraient plus difficilement aux exigences spécifiques Cofrac de 0,7% : l’application de la correction est donc justifiée.

I

1.7.         Simplification

L’utilisation des différents capteurs sur leur plage de mesure est résumée dans le tableau ci-dessous. Il est évident que pour simplifier la gestion des incertitudes, une incertitude élargie de ± 0,7 % est retenue. Lors de prochains étalonnages des capteurs étalons, il suffira de vérifier que les incertitudes recalculées seront inférieures à ± 0,7 %.

1.8.         Incertitudes sur l’écart moyen – Composantes d’incertitudes

Connaissant maintenant l’incertitude des capteurs de couple (W = ± 0,7 %), il est important de connaître l’incertitude sur la détermination de l’écart moyen lors de l’étalonnage d’une clé dynamométrique. L’écart moyen est la moyenne des écarts entre la valeur indiquée par la clé et la valeur indiquée par le couplemètre.

Nous allons donc traiter un exemple avec l’étalonnage d’une clé dynamométrique à déclenchement (Type II – Classe A) [15]. Sa plage de mesure est de 20 à 100 N.m.

Suivant la norme NF EN 26789, Outils dynamométriques à commande manuelle, trois points à 20, 60 puis 100 % doivent être contrôlés avec 5 mesurages successifs pour chaque point. L’utilisation du capteur du jeu A ou du jeu B de valeur maximale 100 N.m. est permise pour les 3 points. Le calcul sera détaillé pour le point à 20 N.m.

A 20 N.m, les mesures indiquent que l’écart moyen Couple indiqué – Couple de référence est de 0,05 N.m soit 0,22 %.

1.8.1.      Incertitudes de Type A

A.1             Répétabilité de l’instrument à contrôler

La répétabilité est estimée à partir de l’écart-type calculé à partir des cinq répétitions. Cet écart-type est divisé par racine de 5 car le résultat donné est la moyenne de 5 mesures

s1 = 0,24 %

1.8.2.      Incertitudes de Type B

B.1              Incertitude due au capteur de couple

Cette incertitude a été estimée précédemment : W = 0,7 % avec k=2.

w1 = 0,35 %

B.2              Incertitude due à la résolution de la clé

Le système de réglage de la valeur de déclenchement n’engendre aucune incertitude due à la résolution : Le métrologue règle à la valeur désirée par un verrouillage sur un cran. Aucune erreur n’est alors possible.

1.8.3.      Détermination de l’incertitude composée et l’incertitude élargie

On déduit donc l’incertitude-type globale sur la détermination de l’écart moyen :

 

L’incertitude élargie U(E) est égale à l’incertitude composée multipliée par le facteur d’élargissement k=2 soit :

 

L’expression du résultat peut donc être la suivante, l’écart moyen de la clé dynamométrique à 20 N.m est égale à 0,22 % avec une incertitude élargie relative de ± 0,85 % (avec un facteur d’élargissement k=2).